位移与时间的关系公式推导（匀变速直线运动位移与时间的关系）

课 题

§2.3匀变速直线运动位移与时间的关系

课 型

新授课（2课时）

教 学 目 标

知识与技能

1．知道匀变速直线运动的位移与时间的关系。

2．了解位移公式的推导方法，掌握位移公式x＝vot+ at2/2。

3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用。

4．理解v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。

5．能推导并掌握位移与速度的关系式v2-v02=2ax。

6．会适当地选用公式对匀变速直线运动的问题进行简单的分析和计算。

过程与方法

1．通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较。

2．感悟一些数学方法的应用特点。

情感态度与价值观

1．经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手的能力，增加物理

情感。

2．体验成功的快乐和方法的意义，增强科学能力的价值观。

教学重点、难点

教学重点

1．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系x＝vot+ at2/2及其应用。

2．理解匀变速直线运动的位移与速度的关系v2-v02=2ax及其应用。

教学难点

1．v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。

2．微元法推导位移时间关系式。

3．匀变速直线运动的位移与时间的关系x＝vot+ at2/2及其灵活应用。

教 学 方 法

探究、讲授、讨论、练习

教 学 手 段

教具准备

坐标纸、铅笔、刻度尺、多媒体课件

教 学 活 动

[新课导入]

师：这里给出了物体运动的两种v-t图像，这两个图像分别表示怎样的运动形式呢？我们这节课就来探究这两种不同运动形态的位移随时间的变化规律。

[新课教学]

一、匀速直线运动的位移

师：同学们是否会计算匀速运动在t秒内发生的位移？好，我们用公式x=v*t就可以计算得出，这是一种方法——“公式法”；

师：那我们还可不可以用其他方式对匀速直线运动的位移进行表示？请同学们继续观察思考，看一看这个位移的公式与图像中的矩形有什么关系？**同学请回答：你认为位移公式和矩形的面积有什么样的联系？哦！原来匀速直线运动的位移就等于v-t线与坐标轴围成的面积。大家可以看到，矩形的长代表时间t，它的宽呢，正好代表了速度v，它的面积就是长宽的乘积，也就是v*t.这就是第二种表示位移的方法——“图像法”：在v-t图像中，匀速直线运动的位移大小就等于v-t图像与坐标轴所围矩形的面积。我们知道位移是矢量，那么在图中应该如何表示其方向呢？

师：当速度值为正值和为负值时，它们的位移有什么不同?

师：速度值为正值时，图象与坐标系所围成的图形在第一象限或者说时间轴的上方，x＝vt>0，即位移方向沿着我们规定的正方向；速度值为负值时，图象与坐标系所围成的图形在第四象限或者说时间轴的下方，x=vt<0，即位移方向与我们规定的正方向恰恰相反。

师：准确地讲：矩形的面积在数值上等于匀速直线运动位移的大小；位移的方向性是通过在时间轴的上下来表示：上方表示位移为（提问）正；下方表示位移为（提问）负。

师：匀速直线运动只是一个药引子！那么做匀变速直线运动的物体发生的位移又如何计算呢？是否也像匀速直线运动，位移与它的v-t 图像也有类似的关系呢？

二、匀变速直线运动的位移

[思考与讨论]

请同学们把课本翻到第37页，看“思考与讨论”的这部分内容。

一次课上，同学得到了小车在0，1，2，3，4，5几个位置的瞬时速度．如下表：

师：从表中看，物体在做什么样的运动？

师：为什么是匀加速直线运动呢？我们想想匀加速直线运动的定义，是不是在相同的时间间隔内物体的速度改变量相同呢？很好。我们看：

0.0~0.1s:△v=0.25m/s;

0.1~0.2s:△v=0.25m/s;

0.2~0.3s:△v=0.23m/s;

0.3~0.4s:△v=0.27m/s;

0.4~0.5s:△v=0.26m/s.

师：我们利用表格中的数据作出了物体运动的图像，如右图（黑板上）所示（把数据标到匀变速直线运动图中）

师：我们能否用最简单的方法粗略估算物体从位置0到位置5的位移呢？

师：在了解之前呢，我们先来看一段物理史话。

分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用。早在公元263年，大家知道那会儿是什么时候?啊,我们有的同学说是:很久很久之前,long long age啊！咱们历史课代表知道吗？魏晋南北朝时期。这一时期为大量的历史悬疑剧和古装仙侠剧提供了素材，如：《琅琊榜》。当时有两位名人：一个是书法大家王羲之，我们讲个他的小故事，跟本节课无关。咱们居住的太原那时不叫太原，而叫什么呢？叫“大原”。王羲之任大原太守之后，相当于现在的市长之后，决定给大原改个名字，于是在家静修三天，蓄足力气。这是一个风和日丽的上午，王羲之骑在骏马上朝城头飞驰，城楼牌匾，上书大原，于是王羲之使了八成的功力将毛笔掷出，我们知道书法练到炉火纯青的境界后，写出字来就会入木三分。毛笔正好在大原下方哆了一个点，自此大原变成了太原（不是“犬原”），这就是“王羲之飞笔点太原”的故事。太就是“太空、太虚”，比大还大的意思，因为山西多山地，好不容易有这么大一块儿平原，所以大原已经不足以说明其大，用“太”才合适。

西晋另一个名人是一位数学家，他曾经编著《九章算术》、发现了“勾股定理”，他就是刘徽。首先，我们先画一个圆。同学们是如何求一个圆的面积呢？是不是S=πr2？对，可是我们要知道当时祖冲之还没精确计算圆周率，所以我们就不能用公式了。若此何如？刘徽利用分割和逼近的思想，创造了割圆术：

他在圆里画四边形，用四边形的面积近似代替圆的面积。但是，聪明的同学们就会发现：四边形的面积比圆面积要小，因为有空白的部分，怎么办呢？我就给四边形做手术，加角角，成了多少边形了？八边形。是不是空白小点了？更精确一些了吧？但是还不够！我们数学家都是处女座，非常严谨，所以他继续加角角，成了16边形；又精确了一些，那继续加，加到多少边形呢？3024边形，是不是就相当精确了？！

师：穿越时空，古为今用，我们就是要借助古人的“分割和逼近”的思想去估算匀变速直线运动的位移。

师：刚才我们是用四边形的面积近似代替圆的面积。在估算的前提下，我们能否用匀速直线运动的位移近似代替匀变速直线运动的位移呢？比方说就像刚才那样，我们把整个运动过程分成5小段。用每小段初始时刻的瞬时速度代表这小段时间内的平均速度，就把这小段匀变速运动近似变成了匀速运动，匀速运动的位移怎么求？是不是有两种方法？很好，那我们就用这个小条形的面积表示这段匀速运动的位移。各段位移的大小都可以这样表示，我们把这些条形相加就粗略表示了物体运动的总位移。

师：聪明的同学发现了一个问题：为什么这里有这么一些空白三角呢？它们就像是刚才割圆的时候的“留白”一样，代表粗略估算带来的误差。那我们应该怎么做才能消除掉或者说减少这些误差呢？我们在上面的讨论中若不是取0．1s时，而是取得更小些．比如0．06s，0．04 s，0．02 s，就好像用四边形，八边形，十六边形分别代替圆的面积时，误差会怎么样？请大家对比课本38页图2.3-2，我们发现：是不是所取时间间隔越小，每个矩形越窄，图中空白的小三角形面积也越小呢？这是不是说明误差越来越小了呢？

师：同学们想想：这说明了什么？

师：当然，我们上面的做法是粗糙的。为了更精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙。用所有这些小段的位移之和，近似代表物体在整个过程中的位移。从v—t图象上看，就是用更多但更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形OABC，梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v0)到t(此时速度是v)这段时间内的位移．刚才这样的研究过程，其实就是我们伟大的物理学家、数学家——牛顿、莱布尼兹发明的“微积分”，只不过是它的精简版和缩略。

v—t图象中直线下面的梯形OABC的面积是：

S=(OC+AB)XOA/2

把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x＝(Vo+V)t/2

很多运动中我们无法知道末速度，只知道初速度与加速度，怎么办呢？利用我们上节课学过的公式v＝v0+at代入，得到x＝vot+at2/2

这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。

师：这个位移公式虽然是在匀加速直线运动的情景下导出的，但也同样适用于匀减速直线运动。

到这里咱们再来推导一些重要结论：

首先我们说位移可以表示为平均速度乘以时间：x=vt,而平均速度又等于什么呢？大家想想看，比方说一个同学的成绩是80分，另一个同学的成绩是90分，我要想知道两个人成绩的平均值应该怎么算？是不是加起来再除以2.所以我们有平均速度等于速度的平均值，也就是x＝(Vo+Vt)/2*t.

另外，我们来把这个梯形做这样一个辅助线，同学们观察：这两个三角形有什么样的关系？是不是全等啊？所以它们的面积也是相等的。梯形的面积就相当于是这个矩形的面积，等于宽t乘以长中间时刻的瞬时速度Vt/2,得x=Vt/2*t.

师：接下来，我们把课本翻到第41页，看一个射击的实例。

从v=v0+at和x=1/2at2两式中消去中间变量t,就可以直接得到速度v与时间t的关系了：v2-v02=2ax.

推导步骤：把t从v=v0+at解出：t=(v-v0)/a代入x=1/2z2化简。

学 生 活 动

生：左图表示匀速直线运动；右图表示匀加速直线运动。

生：矩形的面积等于位移的大小。

生：匀加速直线运动

生：误差会更小。所取时间间隔越短，平均速度越能更精确地描述那一瞬时的速度，误差也就越小。

生：就像刘徽的“割圆术”，我们分割的小矩形数目越多，小矩形的面积总和越接近于倾斜直线下所围成的梯形的面积．

微积分过程：

从豆浆机升级到破壁机。原来有豆渣，现在渣（细胞壁）都不剩了，纵享丝滑。